分数式の恒等式（部分分数分解）（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 分数式の恒等式（部分分数分解）（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の等式が $x$ についての恒等式となるように，定数 $a,\ b,\ c$ の値を定めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x+2}$
\item[(2)] $\dfrac{1}{x(x+1)^2}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{(x+1)^2}$
\end{enumerate}
(1) 両辺に $(x-1)(x+2)$ を掛けた
\[ 5x+1=a(x+2)+b(x-1) \]
も恒等式である．$x=1$ を代入して $6=3a$，$x=-2$ を代入して $-9=-3b$．よって $a=2,\ b=3$
逆に，このとき右辺は $5x+1$ となり，与式は恒等式である．
(2) 両辺に $x(x+1)^2$ を掛けて
\[ 1=a(x+1)^2+bx(x+1)+cx \]
$x=0$ を代入して $a=1$．$x=-1$ を代入して $1=-c$ より $c=-1$．
$x^2$ の係数を比較して $a+b=0$ より $b=-1$
逆に，このとき右辺は $(x+1)^2-x(x+1)-x=1$ となり，恒等式である．
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます