係数比較で恒等式の定数を決める（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 係数比較で恒等式の定数を決める（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の等式が $x$ についての恒等式となるように，定数 $a,\ b,\ c$ の値を定めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $3x^2+4x-1=a(x+1)^2+b(x+1)+c$
\item[(2)] $x^3-4x^2+ax+b=(x-1)(x^2+cx+3)$
\end{enumerate}
(1) 右辺を展開して整理すると
\[ ax^2+(2a+b)x+(a+b+c) \]
係数を比較して
\[ a=3,\quad 2a+b=4,\quad a+b+c=-1 \]
これを解いて $a=3,\ b=-2,\ c=-2$
(2) 右辺を展開して整理すると
\[ x^3+(c-1)x^2+(3-c)x-3 \]
係数を比較して
\[ -4=c-1,\quad a=3-c,\quad b=-3 \]
よって $c=-3,\ a=6,\ b=-3$
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