係数比較で恒等式の定数を決める（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 係数比較で恒等式の定数を決める（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の等式が $x$ についての恒等式となるように，定数 $a,\ b,\ c$ の値を定めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $x^2-3x+5=a(x-1)^2+b(x-1)+c$
\item[(2)] $2x^3+ax^2+bx+3=(x^2-x+1)(2x+c)$
\end{enumerate}
(1) 右辺を展開して整理すると
\[ ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c) \]
両辺の同じ次数の項の係数を比較して
\[ a=1,\quad -2a+b=-3,\quad a-b+c=5 \]
これを解いて $a=1,\ b=-1,\ c=3$
(2) 右辺を展開して整理すると
\[ 2x^3+(c-2)x^2+(2-c)x+c \]
係数を比較して
\[ a=c-2,\quad b=2-c,\quad 3=c \]
よって $a=1,\ b=-1,\ c=3$
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