二項定理で割った余り・倍数を示す（B）

(1) $3^{101}=3\cdot 9^{50}=3(8+1)^{50}$ である．$(8+1)^{50}$ を展開すると，最後の項 $1$ 以外はすべて $8$ の倍数であるから，$(8+1)^{50}=8M+1$（$M$ は整数）と表せる．よって \[ 3^{101}=3(8M+1)=8\cdot 3M+3 \] したがって，余りは $3$ (2) $5^n=(1+4)^n$ を展開すると \[ 5^n=1+{}_n\mathrm{C}_1\cdot 4+{}_n\mathrm{C}_2\cdot 4^2+\cdots+4^n \] よって \[ 5^n-4n-1=4^2\left({}_n\mathrm{C}_2+{}_n\mathrm{C}_3\cdot 4+\cdots+4^{n-2}\right) \] （$n=1$ のときは $5-4-1=0$ で成り立つ．）かっこ内は整数であるから，$5^n-4n-1$ は $16$ で割り切れる． \hfill 〔証明終〕