二項定理で割った余り・倍数を示す（A）

(1) $2^{100}=2\cdot 2^{99}=2\cdot 8^{33}=2(7+1)^{33}$ である．二項定理より \[ (7+1)^{33}=7^{33}+{}_{33}\mathrm{C}_1 7^{32}+\cdots+{}_{33}\mathrm{C}_{32}\,7+1 \] であり，最後の項 $1$ 以外はすべて $7$ の倍数であるから，$(7+1)^{33}=7M+1$（$M$ は整数）と表せる．よって \[ 2^{100}=2(7M+1)=7\cdot 2M+2 \] したがって，余りは $2$ (2) $3^{2n}=9^n=(1+8)^n$ を二項定理で展開すると \[ 9^n=1+{}_n\mathrm{C}_1\cdot 8+{}_n\mathrm{C}_2\cdot 8^2+{}_n\mathrm{C}_3\cdot 8^3+\cdots+8^n \] よって \[ 3^{2n}-8n-1=8^2\left({}_n\mathrm{C}_2+{}_n\mathrm{C}_3\cdot 8+\cdots+8^{n-2}\right) \] （$n=1$ のときは右辺のかっこ内を $0$ とみなす．実際 $9-8-1=0$．）かっこ内は整数であるから，$3^{2n}-8n-1$ は $64$ で割り切れる． \hfill 〔証明終〕