二項定理で下の桁・近似値を求める（A）

(1) $11^{30}=(1+10)^{30}$ を二項定理で展開すると \[ 11^{30}=1+{}_{30}\mathrm{C}_1\cdot 10+{}_{30}\mathrm{C}_2\cdot 10^2+{}_{30}\mathrm{C}_3\cdot 10^3+\cdots+10^{30} \] 第 4 項以降はすべて $1000$ の倍数である．また \[ 1+30\cdot 10+435\cdot 100=1+300+43500=43801 \] よって，$11^{30}$ を $1000$ で割った余りは $801$ であり，下 3 桁は $801$ (2) $1.01^{10}=(1+0.01)^{10}$ を展開すると \[ 1.01^{10}=1+{}_{10}\mathrm{C}_1(0.01)+{}_{10}\mathrm{C}_2(0.01)^2+{}_{10}\mathrm{C}_3(0.01)^3+\cdots \] \[ =1+0.1+0.0045+0.00012+\cdots \] 第 4 項以降の和を $R$ とすると \[ R={}_{10}\mathrm{C}_3(0.01)^3+{}_{10}\mathrm{C}_4(0.01)^4+\cdots \] 各項は直前の項の $\dfrac{1}{10}$ 以下（${}_{10}\mathrm{C}_{k+1}(0.01)^{k+1}\div{}_{10}\mathrm{C}_k(0.01)^k=\dfrac{10-k}{k+1}\cdot 0.01<0.1$）であるから \[ 0<R<0.00012\times\left(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\cdots+\frac{1}{10^7}\right)=0.00012\times 1.1111111<0.0002 \] よって $1.1045<1.01^{10}<1.1047$ となり，小数第 3 位までは $1.104$