二項係数の和に関する等式（B）

(1) $(1+x)^n={}_n\mathrm{C}_0+{}_n\mathrm{C}_1x+\cdots+{}_n\mathrm{C}_nx^n$ に $x=1,\ x=-1$ を代入すると \[ 2^n={}_n\mathrm{C}_0+{}_n\mathrm{C}_1+{}_n\mathrm{C}_2+{}_n\mathrm{C}_3+\cdots \] \[ 0={}_n\mathrm{C}_0-{}_n\mathrm{C}_1+{}_n\mathrm{C}_2-{}_n\mathrm{C}_3+\cdots \] 辺々を加えると，$k$ が奇数の項は消えて \[ 2^n=2\left({}_n\mathrm{C}_0+{}_n\mathrm{C}_2+{}_n\mathrm{C}_4+\cdots\right) \] よって ${}_n\mathrm{C}_0+{}_n\mathrm{C}_2+{}_n\mathrm{C}_4+\cdots=2^{n-1}$ (2) $1\leqq k\leqq n$ のとき \[ k\,{}_n\mathrm{C}_k=k\cdot\frac{n!}{k!\,(n-k)!}=n\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!}=n\,{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} \] よって \[ (\text{左辺})=n\left({}_{n-1}\mathrm{C}_0+{}_{n-1}\mathrm{C}_1+\cdots+{}_{n-1}\mathrm{C}_{n-1}\right)=n\cdot 2^{n-1} \] （最後は $(1+x)^{n-1}$ の展開式に $x=1$ を代入した結果を用いた．） \hfill 〔証明終〕