二項係数の和に関する等式（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 二項係数の和に関する等式（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$n$ を自然数とするとき，次の等式が成り立つことを証明せよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] ${}_n\mathrm{C}_0+{}_n\mathrm{C}_1+{}_n\mathrm{C}_2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n=2^n$
\item[(2)] ${}_n\mathrm{C}_0-{}_n\mathrm{C}_1+{}_n\mathrm{C}_2-\cdots+(-1)^n{}_n\mathrm{C}_n=0$
\item[(3)] ${}_n\mathrm{C}_0+2\,{}_n\mathrm{C}_1+2^2\,{}_n\mathrm{C}_2+\cdots+2^n\,{}_n\mathrm{C}_n=3^n$
\end{enumerate}
二項定理より，次の等式が $x$ についての恒等式として成り立つ．
\[ (1+x)^n={}_n\mathrm{C}_0+{}_n\mathrm{C}_1x+{}_n\mathrm{C}_2x^2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_nx^n \quad\cdots\text{①} \]
(1) ① に $x=1$ を代入すると $2^n={}_n\mathrm{C}_0+{}_n\mathrm{C}_1+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n$
(2) ① に $x=-1$ を代入すると $0={}_n\mathrm{C}_0-{}_n\mathrm{C}_1+{}_n\mathrm{C}_2-\cdots+(-1)^n{}_n\mathrm{C}_n$
(3) ① に $x=2$ を代入すると $3^n={}_n\mathrm{C}_0+2\,{}_n\mathrm{C}_1+2^2\,{}_n\mathrm{C}_2+\cdots+2^n\,{}_n\mathrm{C}_n$
\hfill 〔証明終〕
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます