(1+x+x²)ⁿ 型の展開式の係数（B）

(1) 一般項は \[ \frac{6!}{p!\,q!\,r!}(x^2)^p(-x)^q2^r=\frac{6!}{p!\,q!\,r!}(-1)^q2^r x^{2p+q}\quad(p+q+r=6) \] $2p+q=3$ を満たす組は $(p,q,r)=(0,3,3),\ (1,1,4)$．よって，$x^3$ の係数は \[ \frac{6!}{0!\,3!\,3!}(-1)^3 2^3+\frac{6!}{1!\,1!\,4!}(-1)^1 2^4=-160-480=-640 \] (2) 一般項は \[ \frac{5!}{p!\,q!\,r!}(x^2)^p\left(\frac{1}{x}\right)^q 1^r=\frac{5!}{p!\,q!\,r!}x^{2p-q}\quad(p+q+r=5) \] 定数項は $q=2p$ のときで，$(p,q,r)=(0,0,5),\ (1,2,2)$（$p=2$ では $q=4$，$r=-1$ となり不適）．よって \[ \frac{5!}{0!\,0!\,5!}+\frac{5!}{1!\,2!\,2!}=1+30=31 \]