(1+x+x²)ⁿ 型の展開式の係数（A）

(1) 展開式の一般項は \[ \frac{5!}{p!\,q!\,r!}\cdot 1^p\cdot x^q\cdot(x^2)^r=\frac{5!}{p!\,q!\,r!}x^{q+2r}\quad(p+q+r=5) \] $q+2r=4$ を満たす 0 以上の整数の組 $(p,q,r)$ は \[ (1,4,0),\ (2,2,1),\ (3,0,2) \] よって，$x^4$ の係数は \[ \frac{5!}{1!\,4!\,0!}+\frac{5!}{2!\,2!\,1!}+\frac{5!}{3!\,0!\,2!}=5+30+10=45 \] (2) 一般項は \[ \frac{4!}{p!\,q!\,r!}x^p\left(\frac{1}{x}\right)^q 2^r=\frac{4!}{p!\,q!\,r!}2^r x^{p-q}\quad(p+q+r=4) \] 定数項は $p=q$ のときで，$(p,q,r)=(0,0,4),\ (1,1,2),\ (2,2,0)$．よって \[ \frac{4!}{4!}\cdot 2^4+\frac{4!}{1!\,1!\,2!}\cdot 2^2+\frac{4!}{2!\,2!\,0!}\cdot 2^0=16+48+6=70 \] （別解：$x+\dfrac{1}{x}+2=\dfrac{x^2+2x+1}{x}=\dfrac{(x+1)^2}{x}$ より，$\left(x+\dfrac{1}{x}+2\right)^4=\dfrac{(x+1)^8}{x^4}$ であるから，求める定数項は $(x+1)^8$ の展開式における $x^4$ の係数 ${}_8\mathrm{C}_4=70$ に等しい．）