二項定理で (a+b)ⁿ を展開する（A）

二項定理 $(a+b)^n={}_n\mathrm{C}_0a^n+{}_n\mathrm{C}_1a^{n-1}b+\cdots+{}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r+\cdots+{}_n\mathrm{C}_nb^n$ を用いる．係数はパスカルの三角形（下図）から読み取れる． (1) 5 乗の二項係数は $1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$ であるから \[ (x+2)^5=x^5+5\cdot x^4\cdot 2+10\cdot x^3\cdot 2^2+10\cdot x^2\cdot 2^3+5\cdot x\cdot 2^4+2^5 \] \[ =x^5+10x^4+40x^3+80x^2+80x+32 \] (2) 4 乗の二項係数は $1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$ であるから \[ (2a-b)^4=(2a)^4+4(2a)^3(-b)+6(2a)^2(-b)^2+4(2a)(-b)^3+(-b)^4 \] \[ =16a^4-32a^3b+24a^2b^2-8ab^3+b^4 \]