分数係数の多項式が整数値をとる証明（B）

$f(x)=a\cdot\dfrac{x(x-1)}{2}+bx+c$ とおく（$f(x)=px^2+qx+r$ のとき，$a=2p$，$b=p+q$，$c=r$ とすればこの形になる）． \[ f(0)=c,\quad f(1)=b+c,\quad f(2)=a+2b+c \] であるから $c=f(0)$，$b=f(1)-f(0)$，$a=f(2)-2f(1)+f(0)$ で，$a$，$b$，$c$ はすべて整数である． 整数 $n$ について $\dfrac{n(n-1)}{2}$ は，連続する 2 整数の積 $n(n-1)$ が偶数であることから整数である． よって $f(n)=a\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}+bn+c$ は整数である．