分数係数の多項式が整数値をとる証明（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 分数係数の多項式が整数値をとる証明（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
すべての整数 $n$ について，$f(n)=\dfrac{n^3}{6}+\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n}{3}$ は整数であることを証明せよ．
\[ f(n)=\frac{n^3+3n^2+2n}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6} \]
$n(n+1)(n+2)$ は連続する 3 つの整数の積であるから，2 の倍数かつ 3 の倍数である．2 と 3 は互いに素であるから，$n(n+1)(n+2)$ は 6 の倍数である．
よって $f(n)$ は整数である．
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