1次不定方程式を利用した文章題（A）

求める数を $n$ とすると，整数 $a$，$b$ を用いて $n=5a+3=7b+4$ と表せる．よって \[ 5a-7b=1 \] $a=3$，$b=2$ は 1 つの解であるから $5(a-3)=7(b-2)$．5 と 7 は互いに素なので $a-3=7k$（$k$ は整数）で \[ n=5(7k+3)+3=35k+18 \] $35k+18\geqq 100$ となる最小の整数 $k$ は $k=3$ で，$n=123$