ax+by=c の整数解と自然数解（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: ax+by=c の整数解と自然数解（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 方程式 $5x+3y=31$ の整数解をすべて求めよ．
\item[(2)] (1) の解のうち，$x$，$y$ がともに自然数であるものを求めよ．
\end{enumerate}
(1) $x=2$，$y=7$ は 1 つの解である（$10+21=31$）．辺々引いて
\[ 5(x-2)+3(y-7)=0 \]
5 と 3 は互いに素であるから $x-2=3k$，$y-7=-5k$（$k$ は整数）
$x=3k+2$，$y=-5k+7$（$k$ は整数）
(2) $3k+2\geqq 1$ より $k\geqq 0$，$-5k+7\geqq 1$ より $k\leqq 1$．よって $k=0,\ 1$
$(x,y)=(2,\ 7),\ (5,\ 2)$
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