互除法の考えで互いに素・最大公約数を示す（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 互除法の考えで互いに素・最大公約数を示す（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 自然数 $n$ について，$5n+3$ と $3n+2$ は互いに素であることを証明せよ．
\item[(2)] 50 以下の自然数 $n$ のうち，$2n+5$ と $n+1$ の最大公約数が 3 となるものは何個あるか．
\end{enumerate}
(1) 互除法の原理をくり返し用いる．
\[ 5n+3=(3n+2)\cdot 1+(2n+1),\quad 3n+2=(2n+1)\cdot 1+(n+1),\quad 2n+1=(n+1)\cdot 1+n,\quad n+1=n\cdot 1+1 \]
よって $5n+3$ と $3n+2$ の最大公約数は，$n$ と 1 の最大公約数に等しく 1 である．
(2) $2n+5=2(n+1)+3$ であるから，$2n+5$ と $n+1$ の最大公約数は，$n+1$ と 3 の最大公約数に等しい．これが 3 となるのは $n+1$ が 3 の倍数のとき．
$2\leqq n+1\leqq 51$ の範囲の 3 の倍数は $3,6,\cdots,51$ の 17 個．よって 17 個
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