互除法の考えで互いに素・最大公約数を示す（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 互除法の考えで互いに素・最大公約数を示す（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 自然数 $n$ について，$3n+7$ と $n+2$ は互いに素であることを証明せよ．
\item[(2)] $n^2+1$ と $n+1$ の最大公約数が 2 となるような自然数 $n$ の条件を求めよ．
\end{enumerate}
$a=bq+r$ のとき，$a$ と $b$ の最大公約数は $b$ と $r$ の最大公約数に等しいことを用いる．
(1) $3n+7=3(n+2)+1$ であるから，$3n+7$ と $n+2$ の最大公約数は，$n+2$ と 1 の最大公約数に等しく 1．よって互いに素である．
(2) $n^2+1=(n+1)(n-1)+2$ であるから，$n^2+1$ と $n+1$ の最大公約数は，$n+1$ と 2 の最大公約数に等しい．
これが 2 となるのは $n+1$ が偶数のとき，すなわち $n$ が奇数のとき．
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