素数を余りで分類して性質を調べる（B）

$p$ を 3 で割った余りで分類する．$k$ を 0 以上の整数とすると，$p$ は $3k$，$3k+1$，$3k+2$ のいずれかで表せる． $p=3k$ のとき：$p$ が素数となるのは $p=3$ のときのみ．このとき $p+2=5$，$p+4=7$ はともに素数で適する． $p=3k+1$ のとき：$p+2=3(k+1)$ は 3 の倍数で，$p+2\geqq 3$．素数になるのは $p+2=3$，すなわち $p=1$ のときだが，1 は素数でない．不適． $p=3k+2$ のとき：$p+4=3(k+2)$ は 3 の倍数で，$p+4\geqq 6$ より素数でない．不適． よって $p=3$