a²+b²=c² を満たす自然数の性質を余りで示す（B）

(1) $k$ を整数とすると，$(2k)^2=4k^2$，$(2k+1)^2=4(k^2+k)+1$ であるから，整数の 2 乗を 4 で割った余りは，偶数なら 0，奇数なら 1 である． $a$，$b$ がともに奇数と仮定すると，$a^2$，$b^2$ を 4 で割った余りはともに 1 で，$c^2=a^2+b^2$ を 4 で割った余りは 2 となる．しかし，整数の 2 乗を 4 で割った余りは 0 か 1 であるから矛盾する．よって少なくとも一方は偶数である． (2) $n$ が 5 の倍数でないとき，$k$ を整数として $n=5k\pm 1$，$5k\pm 2$ と表せる．$(5k\pm 1)^2=5(5k^2\pm 2k)+1$，$(5k\pm 2)^2=5(5k^2\pm 4k)+4$ であるから，$n^2$ を 5 で割った余りは 1 または 4 である． $a$，$b$，$c$ がどれも 5 の倍数でないと仮定する．$a^2$，$b^2$ を 5 で割った余りはそれぞれ 1 か 4 なので，$a^2+b^2$ を 5 で割った余りは $1+1=2$，$1+4=5$（余り 0），$4+4=8$（余り 3）のいずれか，すなわち 2，0，3 のいずれかである． 一方，$c^2$ を 5 で割った余りは 1 か 4 であるから，どの場合も一致しない．これは矛盾である． よって $a$，$b$，$c$ の少なくとも 1 つは 5 の倍数である．