a²+b²=c² を満たす自然数の性質を余りで示す（A）

$k$ を整数とすると，整数 $n$ は $3k$，$3k\pm 1$ のいずれかで表せる．$n=3k$ のとき $n^2=3\cdot 3k^2$，$n=3k\pm 1$ のとき $n^2=3(3k^2\pm 2k)+1$ であるから，整数の 2 乗を 3 で割った余りは 0 または 1 であり，余りが 0 になるのはもとの数が 3 の倍数のときに限る． $a$，$b$ がともに 3 の倍数でないと仮定すると，$a^2$，$b^2$ を 3 で割った余りはともに 1 で，$a^2+b^2$ を 3 で割った余りは 2 になる． 一方，$c^2$ を 3 で割った余りは 0 または 1 であり，2 にはならない．これは $a^2+b^2=c^2$ に矛盾する． よって $a$，$b$ の少なくとも一方は 3 の倍数である．