余りで分類して性質を証明する（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 余りで分類して性質を証明する（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 整数 $n$ について，$n^2$ を 4 で割った余りは 0 または 1 であることを証明せよ．
\item[(2)] 2 つの整数 $m$，$n$ について，$m^2+n^2$ を 4 で割った余りは 3 にならないことを証明せよ．
\end{enumerate}
(1) $k$ を整数とする．$n$ が偶数のとき $n=2k$ とおくと $n^2=4k^2$ で余り 0
$n$ が奇数のとき $n=2k+1$ とおくと $n^2=4(k^2+k)+1$ で余り 1
よって，$n^2$ を 4 で割った余りは 0 または 1 である．
(2) (1) より $m^2$，$n^2$ を 4 で割った余りはそれぞれ 0 か 1 であるから，$m^2+n^2$ を 4 で割った余りは $0+0$，$0+1$，$1+1$ より 0，1，2 のいずれかである．よって 3 にはならない．
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