余りで分類して性質を証明する（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 余りで分類して性質を証明する（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 整数 $n$ について，$n^2$ を 3 で割った余りは 0 または 1 であることを証明せよ．
\item[(2)] $n^2+1$ は 3 の倍数にならないことを証明せよ．
\end{enumerate}
(1) 整数 $n$ は，整数 $k$ を用いて $3k$，$3k+1$，$3k+2$ のいずれかで表せる．
$n=3k$ のとき $n^2=3\cdot 3k^2$ で余り 0
$n=3k+1$ のとき $n^2=3(3k^2+2k)+1$ で余り 1
$n=3k+2$ のとき $n^2=3(3k^2+4k+1)+1$ で余り 1
よって，$n^2$ を 3 で割った余りは 0 または 1 である．
(2) (1) より $n^2+1$ を 3 で割った余りは 1 または 2 であり，0 にならない．よって 3 の倍数にならない．
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