約数の和が2倍になる数（完全数）（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 約数の和が2倍になる数（完全数）（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
自分自身を除く正の約数の和が自分自身に等しい自然数を完全数という．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 28 と 496 が完全数であることを確かめよ．
\item[(2)] $2^p-1$ が素数であるとき，$N=2^{p-1}(2^p-1)$ は完全数であることを証明せよ．
\end{enumerate}
正の約数すべての和を $S(N)$ とすると，$N$ が完全数であることは $S(N)=2N$ と同じである．
(1) $28=2^2\cdot 7$ より $S(28)=(1+2+4)(1+7)=56=2\cdot 28$
$496=2^4\cdot 31$ より $S(496)=(1+2+4+8+16)(1+31)=31\cdot 32=992=2\cdot 496$
よってどちらも完全数である．
(2) $T=1+2+2^2+\cdots+2^{p-1}$ とおくと，$2T=2+2^2+\cdots+2^p$ であるから，$2T-T=2^p-1$ より $T=2^p-1$
$q=2^p-1$ は素数で，$2^{p-1}$ とは互いに素であるから
\[ S(N)=(1+2+\cdots+2^{p-1})(1+q)=(2^p-1)\cdot 2^p=2\cdot 2^{p-1}(2^p-1)=2N \]
よって $N$ は完全数である．
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