式で表された2数が互いに素であることの証明（A）

$a+b$ と $ab$ が互いに素でないと仮定すると，両方を割り切る素数 $p$ が存在する． $p$ は $ab$ を割り切る素数であるから，$p$ は $a$ または $b$ を割り切る． $p$ が $a$ を割り切るとき，$p$ は $a+b$ も割り切るので，$b=(a+b)-a$ も割り切る．これは $a$，$b$ が互いに素であることに矛盾する． $p$ が $b$ を割り切るときも，$p$ は $a=(a+b)-b$ を割り切るから，$a$，$b$ が互いに素であることに矛盾する． よって $a+b$ と $ab$ は互いに素である．