素数になる条件（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 素数になる条件（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$p$ と $p^2+2$ がともに素数となるような $p$ をすべて求めよ．
$p=3$ のとき $p^2+2=11$ で素数である．
$p\neq 3$ の素数は 3 の倍数でないので，$p=3k\pm 1$（$k$ は整数）と表せる．このとき
\[ p^2+2=9k^2\pm 6k+3=3(3k^2\pm 2k+1) \]
で，$p\geqq 2$ より $p^2+2\geqq 6>3$ であるから $p^2+2$ は 3 より大きい 3 の倍数となり，素数でない．
よって $p=3$
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