√(2次式) が自然数になる n（B）

$n^2+2n+40=(n+1)^2+39$．$\sqrt{(n+1)^2+39}=m$（$m$ は自然数）とおくと \[ m^2-(n+1)^2=39 \qquad (m+n+1)(m-n-1)=39 \] $m+n+1>m-n-1$ で，$m+n+1>0$ より $m-n-1>0$． $39=1\cdot 39=3\cdot 13$ であるから $(m-n-1,\ m+n+1)=(1,\ 39)$ のとき $m=20$，$n+1=19$ で $n=18$ $(m-n-1,\ m+n+1)=(3,\ 13)$ のとき $m=8$，$n+1=5$ で $n=4$ よって $n=4,\ 18$