平方数・立方数になる最小の自然数（B）

$540=2^2\cdot 3^3\cdot 5$ 自然数の 3 乗は，素因数分解したときの各指数がすべて 3 の倍数である．$540n=2^2\cdot 3^3\cdot 5\cdot n$ の素因数 2，5 の指数が 3 の倍数となるためには，$n$ は $2\cdot 5^2$ の倍数でなければならない．よって，最小の $n$ は \[ n=2\cdot 5^2=50 \] このとき $540\cdot 50=27000=2^3\cdot 3^3\cdot 5^3=30^3$ したがって，求める最小の自然数は $n=50$ で，そのとき $540n$ は 30 の 3 乗である．