平方数・立方数になる最小の自然数（A）

(1) $1260=2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$ (2) 自然数の 2 乗は，素因数分解したときの各指数がすべて偶数である．$1260n=2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot n$ の素因数 5，7 の指数が偶数となるためには，$n$ は $5\cdot 7=35$ の倍数でなければならない． $n=35$ のとき $1260\cdot 35=44100=210^2$ よって，求める最小の自然数 $n$ は $35$ (3) $\dfrac{1260}{m}$ は自然数であるから，$m$ は 1260 の正の約数である．$\dfrac{1260}{m}$ の素因数 5，7 の指数が偶数（すなわち 0）となるためには，$m$ は $5\cdot 7=35$ の倍数でなければならない． $m=35$ のとき $\dfrac{1260}{35}=36=6^2$ よって，求める最小の自然数 $m$ は $35$