垂線を2回下ろして垂直を示す（A）

(1) $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ より $\mathrm{OD}\perp\mathrm{AB}$．$\mathrm{OC}$ は平面 $\mathrm{OAB}$ に垂直（$\mathrm{OC}\perp\mathrm{OA}$，$\mathrm{OC}\perp\mathrm{OB}$）であるから，三垂線の定理より $\mathrm{CD}\perp\mathrm{AB}$ $\mathrm{OD}=\dfrac{1}{2}\mathrm{AB}=\dfrac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$．$\triangle\mathrm{OCD}$ は $\angle\mathrm{COD}=90^\circ$ の直角三角形で \[ \mathrm{CD}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{3} \] (2) $\mathrm{AB}\perp\mathrm{OD}$，$\mathrm{AB}\perp\mathrm{CD}$ より $\mathrm{AB}\perp$ 平面 $\mathrm{OCD}$．よって $\mathrm{O}$ から $\mathrm{CD}$ に下ろした垂線 $\mathrm{OH}$ は，$\mathrm{AB}$ とも垂直になり，平面 $\mathrm{ABC}$ に垂直である． $\triangle\mathrm{OCD}$ の面積を 2 通りに表して $\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OD}=\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{CD}\cdot\mathrm{OH}$ \[ 2\cdot 2\sqrt{2}=2\sqrt{3}\cdot\mathrm{OH} \qquad \mathrm{OH}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3} \]