外接する2円と共通接線（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 外接する2円と共通接線（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
直線 $\ell$ に接する半径 4 の円 $\mathrm{O}_1$ と半径 1 の円 $\mathrm{O}_2$ が互いに外接している．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 2 円と $\ell$ との接点をそれぞれ $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ とするとき，$\mathrm{AB}$ の長さを求めよ．
\item[(2)] 2 円の両方に外接し，$\ell$ にも接する円のうち，2 円の間にある小さい円の半径を求めよ．
\end{enumerate}
一般に，直線に接する半径 $a$，$b$ の 2 円が外接しているとき，2 円の中心間の距離は $a+b$，2 つの中心から直線までの距離の差は $|a-b|$ である．よって，接点間の距離は，2 つの中心を結ぶ線分を斜辺とし，他の 1 辺が $|a-b|$ の直角三角形の残りの辺の長さに等しいから，三平方の定理より $\sqrt{(a+b)^2-(a-b)^2}=2\sqrt{ab}$ である．
(1) $\mathrm{AB}=2\sqrt{4\cdot 1}=4$
(2) 求める円の半径を $r$，$\ell$ との接点を $\mathrm{C}$ とすると，$\mathrm{C}$ は $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ の間にあり
\[ \mathrm{AC}+\mathrm{CB}=\mathrm{AB} \qquad 2\sqrt{4r}+2\sqrt{r}=4 \]
よって $6\sqrt{r}=4$，$\sqrt{r}=\dfrac{2}{3}$，$r=\dfrac{4}{9}$
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