方べきの定理を使って線分の積の等式を示す（B）

直線 $\mathrm{OP}$ と円の交点を $\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ とすると（$\mathrm{P}=\mathrm{O}$ のときは任意の直径をとる），$\mathrm{CD}$ は直径で，$\mathrm{P}$ は $\mathrm{CD}$ 上にあり \[ \mathrm{PC}=r-d,\qquad \mathrm{PD}=r+d \] 弦 $\mathrm{AB}$ と弦 $\mathrm{CD}$ は $\mathrm{P}$ で交わるので，方べきの定理より \[ \mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot\mathrm{PD}=(r-d)(r+d)=r^2-d^2 \] $r=5$，$d=3$ のとき $\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=16$ であり，弦の長さは $\mathrm{AB}=\mathrm{PA}+\mathrm{PB}$ であるから \[ \mathrm{AB}^2=(\mathrm{PA}-\mathrm{PB})^2+4\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=(\mathrm{PA}-\mathrm{PB})^2+64\geqq 64 \] $\mathrm{AB}>0$ であるから $\mathrm{AB}\geqq 8$ で，等号は $\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=4$，すなわち $\mathrm{AB}\perp\mathrm{OP}$ のとき成り立つ． よって弦の長さの最小値は 8