方べきの定理を使って線分の積の等式を示す（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 方べきの定理を使って線分の積の等式を示す（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
鋭角三角形 $\mathrm{ABC}$ の頂点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ から対辺に下ろした垂線 $\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{H}$ とする．$\mathrm{AH}\cdot\mathrm{HD}=\mathrm{BH}\cdot\mathrm{HE}$ であることを証明せよ．
$\angle\mathrm{ADB}=\angle\mathrm{AEB}=90^\circ$ であり，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$ は直線 $\mathrm{AB}$ に関して同じ側にあるので，円周角の定理の逆より，4 点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$ は $\mathrm{AB}$ を直径とする円周上にある．
この円の 2 つの弦 $\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$ は円の内部の点 $\mathrm{H}$ で交わるので，方べきの定理より
\[ \mathrm{AH}\cdot\mathrm{HD}=\mathrm{BH}\cdot\mathrm{HE} \]
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