方べきの定理を使った証明（B）

$\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=2\cdot 9=18$，$\mathrm{PC}\cdot\mathrm{PD}=3\cdot 6=18$ より $\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot\mathrm{PD}$ よって $\dfrac{\mathrm{PA}}{\mathrm{PD}}=\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{PB}}$ であり，$\triangle\mathrm{PAC}$ と $\triangle\mathrm{PDB}$ において $\angle\mathrm{P}$ は共通であるから $\triangle\mathrm{PAC}\backsim\triangle\mathrm{PDB}$ したがって $\angle\mathrm{PCA}=\angle\mathrm{PBD}$ 四角形 $\mathrm{ABDC}$ において，$\angle\mathrm{PCA}$ は頂点 $\mathrm{C}$ における外角であり，$\angle\mathrm{PBD}=\angle\mathrm{ABD}$ はその対角（頂点 $\mathrm{B}$ の内角）である．外角が内対角に等しいので，四角形 $\mathrm{ABDC}$ は円に内接する． よって 4 点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ は 1 つの円周上にある（方べきの定理の逆）．