内接円の接点と接線の長さ（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 内接円の接点と接線の長さ（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 円に外接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ において，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CD}=8$ のとき，辺 $\mathrm{DA}$ の長さを求めよ．
\item[(2)] 直角をはさむ 2 辺の長さが 6，8 の直角三角形の内接円の半径 $r$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 各頂点から内接円に引いた 2 本の接線の長さが等しいことから
\[ \mathrm{AB}+\mathrm{CD}=\mathrm{BC}+\mathrm{DA} \]
が成り立つ．よって $6+8=7+\mathrm{DA}$ より $\mathrm{DA}=7$
(2) 斜辺は $\sqrt{36+64}=10$．直角の頂点を $\mathrm{C}$ とすると，内接円の中心と接点，$\mathrm{C}$ を結んでできる四角形は 1 辺 $r$ の正方形になるので，$\mathrm{C}$ からの接線の長さは $r$ である．残りの 2 頂点からの接線の長さは $6-r$，$8-r$ であり，斜辺の長さはこれらの和に等しいから
\[ (6-r)+(8-r)=10 \]
これを解いて $r=2$
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