辺の比と面積の比を組み合わせる（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 辺の比と面積の比を組み合わせる（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
面積が 60 の $\triangle\mathrm{ABC}$ において，辺 $\mathrm{BC}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{D}$，辺 $\mathrm{CA}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{E}$ とし，線分 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする．このとき $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=3:1$，$\mathrm{BP}:\mathrm{PE}=3:1$ である．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\triangle\mathrm{ABP}$，$\triangle\mathrm{BPD}$ の面積を求めよ．
\item[(2)] 四角形 $\mathrm{PDCE}$ の面積を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=2:1$ であるから $\triangle\mathrm{ABD}=\dfrac{2}{3}\triangle\mathrm{ABC}=40$
$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=3:1$ より $\triangle\mathrm{ABP}=\dfrac{3}{4}\cdot 40=30$，$\triangle\mathrm{BPD}=\dfrac{1}{4}\cdot 40=10$
(2) $\mathrm{AE}:\mathrm{AC}=2:3$ より $\triangle\mathrm{ABE}=\dfrac{2}{3}\triangle\mathrm{ABC}=40$．$\mathrm{BP}:\mathrm{PE}=3:1$ より $\triangle\mathrm{APE}=\dfrac{1}{4}\cdot 40=10$
四角形 $\mathrm{PDCE}$ は，$\triangle\mathrm{ABC}$ から $\triangle\mathrm{ABP}$，$\triangle\mathrm{BPD}$，$\triangle\mathrm{APE}$ を除いたものであるから，その面積は
\[ 60-30-10-10=10 \]
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