辺の比と面積の比を組み合わせる（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 辺の比と面積の比を組み合わせる（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
面積が 60 の $\triangle\mathrm{ABC}$ において，辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{D}$，辺 $\mathrm{CA}$ の中点を $\mathrm{E}$ とし，線分 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$ を求めよ．
\item[(2)] $\triangle\mathrm{ABP}$，$\triangle\mathrm{PDC}$ の面積を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\triangle\mathrm{ADC}$ と直線 $\mathrm{BE}$ にメネラウスの定理を用いて
\[ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}\cdot\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}}\cdot\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1 \qquad \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}\cdot\frac{1}{3}\cdot 1=1 \]
よって $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=3:1$
(2) $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=1:2$ であるから
\[ \triangle\mathrm{ABD}=\frac{1}{3}\triangle\mathrm{ABC}=20,\quad \triangle\mathrm{ADC}=\frac{2}{3}\triangle\mathrm{ABC}=40 \]
(1) より $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=3:1$ であるから
\[ \triangle\mathrm{ABP}=\frac{3}{4}\triangle\mathrm{ABD}=15,\quad \triangle\mathrm{PDC}=\frac{1}{4}\triangle\mathrm{ADC}=10 \]
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