外角の二等分線と傍心（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 外角の二等分線と傍心（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=5$，$\mathrm{AB}=6$ である $\triangle\mathrm{ABC}$ において，$\angle\mathrm{A}$ の内部にある傍接円（辺 $\mathrm{BC}$ と，辺 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$ の延長に接する円）が，辺 $\mathrm{BC}$ と点 $\mathrm{P}$，辺 $\mathrm{AB}$ の延長と点 $\mathrm{Q}$，辺 $\mathrm{AC}$ の延長と点 $\mathrm{R}$ で接している．$\mathrm{AQ}$，$\mathrm{BP}$ の長さを求めよ．
円外の点から引いた 2 本の接線の長さは等しいので
\[ \mathrm{AQ}=\mathrm{AR},\quad \mathrm{BQ}=\mathrm{BP},\quad \mathrm{CR}=\mathrm{CP} \]
$\mathrm{AQ}+\mathrm{AR}=(\mathrm{AB}+\mathrm{BQ})+(\mathrm{AC}+\mathrm{CR})=\mathrm{AB}+\mathrm{AC}+(\mathrm{BP}+\mathrm{CP})=6+5+7=18$
よって $\mathrm{AQ}=9$ で，$\mathrm{BP}=\mathrm{BQ}=\mathrm{AQ}-\mathrm{AB}=9-6=3$
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