3つの五心が一直線上に並ぶことを調べる（B）

辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とすると $\mathrm{M}(2,\ 0)$ また，原点を $\mathrm{D}$ とすると，$\mathrm{A}$ は $y$ 軸上，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ は $x$ 軸上にあるから $\mathrm{AD}\perp\mathrm{BC}$ である． 重心：$\mathrm{G}$ は中線 $\mathrm{AM}$ を $2:1$ に内分する．$\mathrm{G}$ から $x$ 軸に垂線 $\mathrm{GK}$ を下ろすと，$\mathrm{GK}\parallel\mathrm{AD}$ であるから \[ \mathrm{MK}:\mathrm{KD}=\mathrm{MG}:\mathrm{GA}=1:2,\qquad \mathrm{GK}:\mathrm{AD}=\mathrm{MG}:\mathrm{MA}=1:3 \] $\mathrm{MD}=2$，$\mathrm{AD}=4$ であるから $\mathrm{MK}=\dfrac{2}{3}$，$\mathrm{GK}=\dfrac{4}{3}$．よって $\mathrm{G}\left(\dfrac{4}{3},\ \dfrac{4}{3}\right)$ 外心：$\mathrm{O}$ は辺 $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線 $x=2$ 上にある．$\mathrm{O}(2,\ k)$ とおくと，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ であるから，三平方の定理より \[ 2^2+(k-4)^2=4^2+k^2 \qquad -8k+4=0 \qquad k=\frac{1}{2} \] よって $\mathrm{O}\left(2,\ \dfrac{1}{2}\right)$ 垂心：$\mathrm{AD}\perp\mathrm{BC}$ であるから，$\mathrm{H}$ は直線 $\mathrm{AD}$ すなわち $y$ 軸上にある．$\mathrm{H}(0,\ h)$ とする．$\mathrm{BH}\perp\mathrm{AC}$ であるから $\angle\mathrm{DBH}=90^\circ-\angle\mathrm{ACB}=\angle\mathrm{DAC}$ よって，直角三角形 $\mathrm{DBH}$ と $\mathrm{DAC}$ は相似であり $\mathrm{DH}:\mathrm{DB}=\mathrm{DC}:\mathrm{DA}$ $h:2=6:4$ より $h=3$．よって $\mathrm{H}(0,\ 3)$ 2 点 $\mathrm{O}$，$\mathrm{H}$ を通る直線の式を $y=ax+b$ とすると，$\dfrac{1}{2}=2a+b$，$3=b$ より $a=-\dfrac{5}{4}$ であるから $y=-\dfrac{5}{4}x+3$ $x=\dfrac{4}{3}$ のとき $y=-\dfrac{5}{3}+3=\dfrac{4}{3}$ であるから，$\mathrm{G}$ は直線 $\mathrm{OH}$ 上にある． また，$\mathrm{O}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$ の $x$ 座標はそれぞれ $2$，$\dfrac{4}{3}$，$0$ であるから，平行線と線分の比より \[ \mathrm{OG}:\mathrm{GH}=\left(2-\frac{4}{3}\right):\left(\frac{4}{3}-0\right)=1:2 \] したがって，3 点 $\mathrm{O}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$ は一直線上にあり，$\mathrm{OG}:\mathrm{GH}=1:2$ である．