3つの五心が一直線上に並ぶことを調べる（A）

重心と外心が一致する点を $\mathrm{G}$ とし，辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする． $\mathrm{G}$ は重心であるから，直線 $\mathrm{AG}$ は $\mathrm{M}$ を通る．また $\mathrm{G}$ は外心であるから，$\mathrm{G}$ は辺 $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線上にあり，$\mathrm{GM}\perp\mathrm{BC}$ である． よって $\mathrm{AM}\perp\mathrm{BC}$ で，$\mathrm{AM}$ は $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線になるから $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ 同様に，辺 $\mathrm{CA}$ について考えると $\mathrm{BA}=\mathrm{BC}$ よって $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$ であり，$\triangle\mathrm{ABC}$ は正三角形である．