外心・垂心の性質を証明する（B）

直線 $\mathrm{BH}$ と辺 $\mathrm{CA}$ の交点を $\mathrm{E}$，直線 $\mathrm{CH}$ と辺 $\mathrm{AB}$ の交点を $\mathrm{F}$ とする．$\mathrm{H}$ は垂心であるから $\angle\mathrm{AEH}=\angle\mathrm{AFH}=90^\circ$ 四角形 $\mathrm{AFHE}$ の内角の和は $360^\circ$ であるから \[ \angle\mathrm{FHE}=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\angle\mathrm{BAC}=180^\circ-\angle\mathrm{BAC} \] $\angle\mathrm{BHC}$ と $\angle\mathrm{FHE}$ は対頂角であるから等しい． よって $\angle\mathrm{BHC}=180^\circ-\angle\mathrm{BAC}$