ある点が重心になることを証明する（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: ある点が重心になることを証明する（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ の辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とし，線分 $\mathrm{AM}$ と対角線 $\mathrm{BD}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\mathrm{P}$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の重心であることを示せ．
\item[(2)] $\mathrm{BP}:\mathrm{PD}$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 対角線 $\mathrm{AC}$ と $\mathrm{BD}$ の交点を $\mathrm{O}$ とすると，平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので，$\mathrm{O}$ は $\mathrm{AC}$ の中点である．
よって $\triangle\mathrm{ABC}$ において，$\mathrm{BO}$ と $\mathrm{AM}$ はともに中線であり，その交点 $\mathrm{P}$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の重心である．
(2) $\mathrm{P}$ は重心であるから $\mathrm{BP}=\dfrac{2}{3}\mathrm{BO}$．$\mathrm{BO}=\dfrac{1}{2}\mathrm{BD}$ であるから $\mathrm{BP}=\dfrac{1}{3}\mathrm{BD}$
よって $\mathrm{BP}:\mathrm{PD}=1:2$
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