重心による線分の比と面積の比（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 重心による線分の比と面積の比（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$\triangle\mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$ とし，中線 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{G}$ とする．$\mathrm{AD}=9$，$\mathrm{BE}=12$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\mathrm{AG}$，$\mathrm{GE}$ の長さを求めよ．
\item[(2)] $\triangle\mathrm{ABC}$ の面積が 48 のとき，$\triangle\mathrm{GDE}$ の面積を求めよ．
\end{enumerate}
$\mathrm{G}$ は重心であるから，各中線を $2:1$ に内分する．
(1) $\mathrm{AG}=\dfrac{2}{3}\cdot 9=6$，\quad $\mathrm{GE}=\dfrac{1}{3}\cdot 12=4$
(2) $\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$ は中点であるから $\triangle\mathrm{CDE}=\dfrac{1}{4}\triangle\mathrm{ABC}=12$，四角形 $\mathrm{ABDE}$ の面積は 36．
$\triangle\mathrm{ABD}=\dfrac{1}{2}\triangle\mathrm{ABC}=24$ であるから $\triangle\mathrm{ADE}=36-24=12$
$\mathrm{GD}:\mathrm{AD}=1:3$ より $\triangle\mathrm{GDE}=\dfrac{1}{3}\triangle\mathrm{ADE}=4$
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