辺の比から角の二等分線であることを示す（A）

点 $\mathrm{C}$ を通り直線 $\mathrm{AD}$ に平行な直線と，辺 $\mathrm{BA}$ の $\mathrm{A}$ の側の延長との交点を $\mathrm{E}$ とする（下図）． $\mathrm{AD}\parallel\mathrm{EC}$ であるから $\mathrm{BA}:\mathrm{AE}=\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$ 仮定より $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$ であるから $\mathrm{BA}:\mathrm{AE}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$，よって $\mathrm{AE}=\mathrm{AC}$ したがって $\triangle\mathrm{ACE}$ は二等辺三角形で $\angle\mathrm{AEC}=\angle\mathrm{ACE}$ また，平行線の同位角・錯角より \[ \angle\mathrm{BAD}=\angle\mathrm{AEC},\qquad \angle\mathrm{DAC}=\angle\mathrm{ACE} \] よって $\angle\mathrm{BAD}=\angle\mathrm{DAC}$ であり，$\mathrm{AD}$ は $\angle\mathrm{BAC}$ の二等分線である．