n回中 r回起こる確率を最大にする r（A）
★★★★☆☆☆（地方国立・MARCH） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: n回中 r回起こる確率を最大にする r（B） （★★★★☆☆☆（地方国立・MARCH））
問題
1 個のさいころを 20 回投げるとき，1 の目がちょうど $k$ 回出る確率を $p_k$ とする（$k=0,1,\cdots,20$）．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\dfrac{p_{k+1}}{p_k}$ を $k$ の式で表せ．
\item[(2)] $p_k$ が最大となる $k$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $p_k={}_{20}\mathrm{C}_k\left(\dfrac{1}{6}\right)^k\left(\dfrac{5}{6}\right)^{20-k}$ であるから，$k=0,1,\cdots,19$ に対して
\[ \frac{p_{k+1}}{p_k}=\frac{{}_{20}\mathrm{C}_{k+1}}{{}_{20}\mathrm{C}_k}\cdot\frac{1}{5}=\frac{20-k}{k+1}\cdot\frac{1}{5}=\frac{20-k}{5(k+1)} \]
(2) $\dfrac{p_{k+1}}{p_k}>1$ となるのは，$20-k>5k+5$ すなわち $k<\dfrac{5}{2}$ のときである．
$\dfrac{p_{k+1}}{p_k}<1$ となるのは，$k>\dfrac{5}{2}$ のときである．
よって $k=0,1,2$ のとき $p_k<p_{k+1}$，$k\geqq 3$ のとき $p_k>p_{k+1}$ であるから
\[ p_0<p_1<p_2<p_3>p_4>\cdots>p_{20} \]
したがって $p_k$ が最大となるのは $k=3$
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