先に何勝かした方が優勝する確率（A）

A が優勝するのは，3 試合目，4 試合目，5 試合目のいずれかで A が 3 勝目をあげるときである． 3 試合目で優勝：$\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{8}{27}$ 4 試合目で優勝：3 試合目までに A が 2 勝 1 敗し，4 試合目に勝つ．${}_3\mathrm{C}_2\left(\dfrac{2}{3}\right)^2\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{27}$ 5 試合目で優勝：4 試合目までに 2 勝 2 敗し，5 試合目に勝つ．${}_4\mathrm{C}_2\left(\dfrac{2}{3}\right)^2\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{16}{81}$ これらは互いに排反であるから \[ \frac{8}{27}+\frac{8}{27}+\frac{16}{81}=\frac{24+24+16}{81}=\frac{64}{81} \]