碁盤の目の最短経路（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 碁盤の目の最短経路（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
下図のような碁盤の目状の道がある．
\begin{enumerate}
\item[(1)] A 地点から B 地点まで行く最短経路のうち，P 地点と Q 地点をともに通るものは何通りあるか．
\item[(2)] 図の × 印の区間が通行止めのとき，A 地点から B 地点まで行く最短経路は何通りあるか．
\end{enumerate}
A から B へは，右へ 6 区画，上へ 4 区画進む．全体は ${}_{10}\mathrm{C}_4=210$ 通り．
(1) A→P（右 2・上 2）が ${}_4\mathrm{C}_2=6$ 通り，P→Q（右 2・上 1）が ${}_3\mathrm{C}_1=3$ 通り，Q→B（右 2・上 1）が 3 通り．
よって $6\times 3\times 3=54$ (通り)
(2) A を原点とし，A から右へ $x$ 区画，上へ $y$ 区画進んだ点を $(x,y)$ と表す．
× 印の区間（点 $(3,1)$ から点 $(3,2)$ へ上に進む区間）を通る経路を数える．A から $(3,1)$ までは ${}_4\mathrm{C}_1=4$ 通り，$(3,2)$ から B までは右 3・上 2 で ${}_5\mathrm{C}_2=10$ 通りであるから，$4\times 10=40$ 通り．
よって $210-40=170$ (通り)
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