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★★★★☆☆☆（地方国立・MARCH） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
複素数平面の発展問題複素数平面上で，点 $\mathrm{P}_0$ を原点，$\mathrm{P}_1$ を点 $1$ とし，以下，$\mathrm{P}_n$ から $\mathrm{P}_{n+1}$ へは，直前の向きから反時計回りに $\dfrac{2}{3}\pi$ 回転した向きに，直前の長さの $\dfrac{1}{2}$ だけ進むものとする． \begin{enumerate} \item[(1)] 点 $\mathrm{P}_n$ を表す複素数 $z_n$ を，$\alpha=\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{2}{3}\pi+i\sin\dfrac{2}{3}\pi\right)$ を用いて表せ． \item[(2)] 点 $\mathrm{P}_n$ が限りなく近づく点 $\mathrm{Q}$ を表す複素数を求めよ． \item[(3)] 点 $\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_6$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{3k}$，$\cdots$ はすべて直線 $\mathrm{OQ}$ 上にあることを示せ． \end{enumerate} -
★★★★☆☆☆（地方国立・MARCH） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
複素数平面の発展問題複素数平面上で，点 $\mathrm{P}_0$ を原点，$\mathrm{P}_1$ を点 $1$ とし，以下，$\mathrm{P}_n$ から $\mathrm{P}_{n+1}$ へは，直前の向き（$\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_n}$ の向き）から反時計回りに $\dfrac{\pi}{2}$ 回転した向きに，直前の長さの $\dfrac{1}{2}$ だけ進むものとする． \begin{enumerate} \item[(1)] 点 $\mathrm{P}_n$ を表す複素数 $z_n$ を求めよ． \item[(2)] 点 $\mathrm{P}_n$ が限りなく近づく点を表す複素数を求めよ． \item[(3)] 折れ線 $\mathrm{P}_0\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\cdots$ の長さの総和を求めよ． \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
複素数平面の発展問題$\alpha=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{4}$ とし，$z_0=0$，$z_{n+1}=\alpha z_n+1$（$n=0,1,2,\cdots$）で点列 $\mathrm{P}_n(z_n)$ を定める． \begin{enumerate} \item[(1)] $c=\alpha c+1$ を満たす複素数 $c$ を求めよ． \item[(2)] $z_n$ を $\alpha$，$c$，$n$ で表せ． \item[(3)] 点 $\mathrm{P}_n$ が限りなく近づく点を表す複素数を求めよ． \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
複素数平面の発展問題$z_0=1$，$z_{n+1}=\dfrac{1+i}{2}z_n$（$n=0,1,2,\cdots$）で定まる点列 $\mathrm{P}_n(z_n)$ について，次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $z_n$ を極形式で表せ． \item[(2)] $z_n$ が負の実数となる最小の正の整数 $n$ と，そのときの $z_n$ を求めよ． \item[(3)] 折れ線 $\mathrm{P}_0\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\cdots\mathrm{P}_n$ の長さを $L_n$ とするとき，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}L_n$ を求めよ． \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
複素数平面の発展問題方程式 $z^6+z^3+1=0$ を解け．また，解のうち虚部が正であるものの個数を求めよ． -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
複素数平面の発展問題次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] 方程式 $z^4+z^3+z^2+z+1=0$ を極形式を用いて解け． \item[(2)] (1) の 4 つの解を $\omega_1$，$\omega_2$，$\omega_3$，$\omega_4$ とするとき，$(2-\omega_1)(2-\omega_2)(2-\omega_3)(2-\omega_4)$ の値を求めよ． \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
複素数平面の発展問題4 点 $\mathrm{A}(-1)$，$\mathrm{B}(1)$，$\mathrm{C}(2+i)$，$\mathrm{D}(ki)$（$k$ は実数）が同一円周上にあるような $k$ の値を求めよ． -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
複素数平面の発展問題4 点 $\mathrm{A}(0)$，$\mathrm{B}(2)$，$\mathrm{C}(3+i)$，$\mathrm{D}(ki)$（$k$ は $0$ でない実数）が同一円周上にあるような $k$ の値を求めよ． -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
複素数平面の発展問題複素数 $z$ について，3 点 $\mathrm{A}(z)$，$\mathrm{B}(z^2)$，$\mathrm{C}(z^3)$ が，$\angle\mathrm{ABC}=\dfrac{\pi}{2}$ の直角二等辺三角形の頂点となるような $z$ をすべて求めよ． -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
複素数平面の発展問題複素数 $z$ について，3 点 $\mathrm{A}(1)$，$\mathrm{B}(z)$，$\mathrm{C}(z^2)$ が正三角形の頂点となるような $z$ をすべて求めよ． -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
複素数平面の発展問題$a$ は実数とする．2 次方程式 $z^2+az+4=0$ の 2 つの解を $\alpha$，$\beta$ とするとき，3 点 $\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$ が $\angle\mathrm{AOB}=\dfrac{\pi}{2}$ の直角三角形の頂点となるような $a$ の値を求めよ． -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
複素数平面の発展問題$a$ は実数とする．2 次方程式 $z^2-2az+4=0$ が虚数解 $\alpha$，$\beta$ をもち，3 点 $\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$ が正三角形の頂点となるとき，$a$ の値を求めよ．