数学C 空間ベクトルの内積の問題

★★★☆☆☆☆（共通テスト）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27

空間ベクトルの内積

次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] 実数 $a$，$b$，$c$，$x$，$y$，$z$ について，$(ax+by+cz)^2\leqq(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$ が成り立つことを，ベクトルの内積を用いて証明せよ． \item[(2)] 実数 $x$，$y$，$z$ について $(x+y+z)^2\leqq 3(x^2+y^2+z^2)$ が成り立つことを示し，等号が成り立つ条件を求めよ． \item[(3)] $x+y+z=6$ のとき，$x^2+y^2+z^2$ の最小値を求めよ． \end{enumerate}

内積の不等式を利用した最大・最小（A）

★★★☆☆☆☆（共通テスト）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27

空間ベクトルの内積

実数 $x$，$y$，$z$ が $x^2+y^2+z^2=9$ を満たすとき，$x+2y+2z$ の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの $x$，$y$，$z$ の値を求めよ．

x, y, z 軸とベクトルがつくる角の余弦（B）

★★☆☆☆☆☆（章末問題）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27

空間ベクトルの内積

大きさが $4$ で，$x$ 軸の正の向きと $60^\circ$，$y$ 軸の正の向きと $45^\circ$ の角をなすベクトル $\vec{p}$ を求めよ．また，そのとき $\vec{p}$ が $z$ 軸の正の向きとなす角を求めよ．

x, y, z 軸とベクトルがつくる角の余弦（A）

★★☆☆☆☆☆（章末問題）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27

空間ベクトルの内積

ベクトル $\vec{a}=(1,\,-1,\,\sqrt{2})$ が $x$ 軸，$y$ 軸，$z$ 軸の正の向きとなす角をそれぞれ $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ とする．$\alpha$，$\beta$，$\gamma$ を求めよ．また，$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma$ の値を求めよ．

ベクトルの大きさの関係式の証明（B）

★★☆☆☆☆☆（章末問題）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27

空間ベクトルの内積

次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] 空間の任意のベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ について，次の等式を証明せよ． \[ |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}) \] \item[(2)] $|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=3$，$|\vec{c}|=4$，$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ のとき，$\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}$ および $\vec{a}\cdot\vec{b}$ の値を求めよ． \end{enumerate}

ベクトルの大きさの関係式の証明（A）

★★☆☆☆☆☆（章末問題）／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27

空間ベクトルの内積

次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] 空間の任意のベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$ について，次の等式を証明せよ． \[ |\vec{a}+\vec{b}|^2+|\vec{a}-\vec{b}|^2=2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2) \] \item[(2)] $|\vec{a}|=3$，$|\vec{b}|=2$，$|\vec{a}+\vec{b}|=4$ のとき，$|\vec{a}-\vec{b}|$ と $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求めよ． \end{enumerate}

2つのベクトルのどちらとも直交する長さ1のベクトル（B）