数学C 空間ベクトルと成分の問題 12件

2 点 $\mathrm{A}(3,\,-1,\,2)$，$\mathrm{B}(5,\,1,\,6)$ について，次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] 直線 $\mathrm{AB}$ 上の点 $\mathrm{P}$ のうち，原点 $\mathrm{O}$ に最も近い点の座標と，$\mathrm{OP}$ の最小値を求めよ． \item[(2)] 点 $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{AB}$ 上を動くとき，$\mathrm{OP}$ の最小値を求めよ． \end{enumerate}

$\vec{a}=(1,\,1,\,1)$，$\vec{b}=(1,\,-1,\,0)$，$\vec{c}=(3,\,1,\,5)$ とする．実数 $s$，$t$ を動かすとき，$|\vec{c}-s\vec{a}-t\vec{b}|$ の最小値と，そのときの $s$，$t$ の値を求めよ．

次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] 点 $\mathrm{A}(3,\,0,\,0)$ を通り，ベクトル $\vec{d}=(1,\,-2,\,2)$ に平行な直線 $\ell$ 上の点 $\mathrm{P}$ のうち，原点 $\mathrm{O}$ との距離が最小となる点の座標と，その最小値を求めよ． \item[(2)] 2 点 $\mathrm{A}(1,\,2,\,1)$，$\mathrm{B}(3,\,4,\,5)$ と $zx$ 平面上の点 $\mathrm{Q}$ について，$\mathrm{AQ}+\mathrm{QB}$ の最小値と，そのときの点 $\mathrm{Q}$ の座標を求めよ． \end{enumerate}

次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\vec{a}=(2,\,1,\,3)$，$\vec{b}=(1,\,-1,\,1)$ とする．$|\vec{a}+t\vec{b}|$（$t$ は実数）の最小値と，そのときの $t$ の値を求めよ． \item[(2)] 2 点 $\mathrm{A}(1,\,2,\,3)$，$\mathrm{B}(4,\,6,\,1)$ と $xy$ 平面上の点 $\mathrm{P}$ について，$\mathrm{AP}+\mathrm{PB}$ の最小値と，そのときの点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ． \end{enumerate}

3 点 $\mathrm{A}(2,\,1,\,-1)$，$\mathrm{B}(3,\,0,\,1)$，$\mathrm{C}(4,\,1,\,1)$ について，次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] 四角形 $\mathrm{ABCD}$ が平行四辺形となるような点 $\mathrm{D}$ の座標を求めよ． \item[(2)] (1) の平行四辺形は長方形であることを示し，その面積を求めよ． \end{enumerate}

3 点 $\mathrm{A}(1,\,0,\,2)$，$\mathrm{B}(3,\,1,\,0)$，$\mathrm{C}(2,\,4,\,1)$ がある．4 点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ が平行四辺形の 4 つの頂点となるような点 $\mathrm{D}$ の座標をすべて求めよ．

3 点 $\mathrm{A}(1,\,2,\,3)$，$\mathrm{B}(3,\,1,\,5)$，$\mathrm{C}(x,\,y,\,9)$ について，次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] 3 点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ が一直線上にあるような $x$，$y$ の値を求めよ． \item[(2)] $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と平行で，大きさが $9$ のベクトルを求めよ． \end{enumerate}

$\vec{a}=(2,\,-1,\,3)$ について，次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\vec{b}=(x,\,2,\,y)$ が $\vec{a}$ と平行になるような $x$，$y$ の値を求めよ． \item[(2)] $\vec{a}$ と平行な単位ベクトルを求めよ． \end{enumerate}

$\vec{a}=(1,\,2,\,1)$，$\vec{b}=(2,\,1,\,0)$，$\vec{c}=(0,\,1,\,2)$ とする．$\vec{p}=(4,\,7,\,6)$ を $x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$（$x$，$y$，$z$ は実数）の形で表せ．

$\vec{a}=(1,\,1,\,0)$，$\vec{b}=(0,\,1,\,1)$，$\vec{c}=(1,\,0,\,1)$ とする．$\vec{p}=(3,\,4,\,5)$ を $x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$（$x$，$y$，$z$ は実数）の形で表せ．

平行六面体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\vec{c}$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $\overrightarrow{\mathrm{EC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{HB}}$ を $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ で表せ． \item[(2)] 面 $\mathrm{EFGH}$ の対角線の交点を $\mathrm{P}$ とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ を $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ で表せ． \item[(3)] $\triangle\mathrm{BDE}$ の重心を $\mathrm{K}$ とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AK}}$ を $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ で表し，$\mathrm{K}$ は対角線 $\mathrm{AG}$ 上にあることを示せ． \end{enumerate}

平行六面体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\vec{c}$ とする．次のベクトルを $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ で表せ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$ \item[(2)] $\overrightarrow{\mathrm{BH}}$ \item[(3)] $\overrightarrow{\mathrm{CE}}$ \item[(4)] $\overrightarrow{\mathrm{DF}}$ \end{enumerate}