数学C ベクトルの演算の問題 10件

平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ において，辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$，辺 $\mathrm{CD}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{N}$ とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{d}$ とするとき，次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ を $\vec{b}$，$\vec{d}$ で表せ． \item[(2)] $\vec{b}$，$\vec{d}$ を $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ で表せ． \end{enumerate}

正六角形 $\mathrm{ABCDEF}$ において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\vec{b}$ とする．次のベクトルを $\vec{a}$，$\vec{b}$ で表せ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ \item[(2)] $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ \item[(3)] $\overrightarrow{\mathrm{CE}}$ \item[(4)] $\overrightarrow{\mathrm{BF}}$ \end{enumerate}

$\vec{a}$，$\vec{b}$ は $\vec{0}$ でなく，互いに平行でないベクトルとする．$\vec{p}=2\vec{a}+3\vec{b}$，$\vec{q}=\vec{a}-\vec{b}$ について，次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\vec{p}+t\vec{q}$ が $\vec{a}$ と平行になるような実数 $t$ の値を求めよ． \item[(2)] $\vec{p}+t\vec{q}$ と $\vec{a}+\vec{b}$ が平行になるような実数 $t$ の値を求めよ． \end{enumerate}

$|\vec{a}|=4$ のとき，次のベクトルを $\vec{a}$ で表せ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\vec{a}$ と同じ向きの単位ベクトル \item[(2)] $\vec{a}$ と平行で，大きさが $6$ のベクトル \end{enumerate}

次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $3\vec{x}+2\vec{y}=\vec{a}$，$2\vec{x}+\vec{y}=\vec{b}$ を満たす $\vec{x}$，$\vec{y}$ を $\vec{a}$，$\vec{b}$ で表せ． \item[(2)] 4 点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ について，等式 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{DB}}$ が成り立つことを証明せよ． \end{enumerate}

次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $2(\vec{a}-3\vec{b})-3(\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c})+4\vec{c}$ を簡単にせよ． \item[(2)] $3\vec{x}-2\vec{a}=\vec{x}+4\vec{b}$ を満たす $\vec{x}$ を $\vec{a}$，$\vec{b}$ で表せ． \item[(3)] 4 点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ について，等式 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ が成り立つことを証明せよ． \end{enumerate}

方眼上で，$\vec{a}$ は右へ $2$・上へ $1$ 目盛，$\vec{b}$ は左へ $1$・上へ $2$ 目盛進むベクトルである．次のベクトルを方眼上に図示せよ．また，方眼の 1 目盛を 1 とするとき，それぞれの大きさを求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\vec{a}+2\vec{b}$ \item[(2)] $3\vec{a}-\vec{b}$ \end{enumerate}

方眼上で，$\vec{a}$ は右へ $3$・上へ $1$ 目盛，$\vec{b}$ は右へ $1$・上へ $2$ 目盛進むベクトルである．次のベクトルを方眼上に図示せよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\vec{a}+\vec{b}$ \item[(2)] $\vec{a}-\vec{b}$ \item[(3)] $2\vec{a}-\dfrac{1}{2}\vec{b}$ \end{enumerate}

正六角形 $\mathrm{ABCDEF}$ の中心を $\mathrm{O}$ とする．$\mathrm{O}$ と各頂点を結んでできる線分および正六角形の辺を考えるとき，次のベクトルをすべて答えよ．ただし，始点・終点は $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{O}$ のいずれかとし，ベクトルは $\overrightarrow{\mathrm{XY}}$ の形で答えよ（$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 自身は除く）． \begin{enumerate} \item[(1)] $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と等しいベクトル \item[(2)] $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の逆ベクトル \item[(3)] $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と大きさが等しく，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と平行なベクトルのうち，始点が $\mathrm{O}$ でないもの \end{enumerate}

下図は合同な平行四辺形を 6 個並べたものである．図中の有向線分が表すベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$，$\vec{d}$，$\vec{e}$，$\vec{f}$ について，次のものをすべて答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] 互いに等しいベクトルの組 \item[(2)] $\vec{a}$ と大きさが等しく，向きが反対のベクトル \item[(3)] $\vec{a}$ と平行なベクトル \end{enumerate}